Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时以AB为直径的圆经过原点O？此时|AB|的值是多少？

Answer 1

（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中c=

3

，a=2，
∴b²=a²-c²=1．
故轨迹C的方程为：x2+

y2

4

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，消去y，
可得（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
△=16k²+48＞0，x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

，
∵以AB为直径的圆经过原点O，
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）（-

3

k2+4

）+k•（-

2k

k2+4

）+1=0，
∴k=±

1

2

，
∴k=±

1

2

时，以AB为直径的圆经过原点O，
|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 65

17

．