题目内容

如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为
p
2
,A、B为直线a上的两个定点,且AB=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E;
(2)当△AMN的外心C在E上什么位置时,使d+BC最小?最小值是多少?(其中,d为外心C到直线c的距离)
以直线b为 x轴,以过点A且与b直线垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,
由题意A(0,p),设△AMN的外心C(x,y),则M(x-p,0)N(x+p,0),
由题意有|CA|=|CM|.∴
x2+(y-p)2
=
(x-x+p)2+y2

解得x2=2py,它是以原点为顶点、y轴为对称轴、开口向上的抛物线.
(2)不难得到,直线c是轨迹E的准线,由抛物线的定义可知,d=|CF|,
其中F(0.
p
2
),是抛物线的焦点,
所以d+|BC|=|CF|+|BC|,
由两点距离可知直线段最短,
线段BF与轨迹E的交点就为所求的使d+|BC|最小点,
由两点式方程可求直线BF的方程为:y=
1
4
x+
1
2
p,与x2=2py联立,
得C(
1
4
p(1+
17
),
9+
17
16
p
).
故当△AMN的外心C在E上
C(
1
4
p(1+
17
),
9+
17
16
p
)时,d+|BC|最小,
最小值|BF|=
17
2
p
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