题目内容

、设函数,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).   
(1)求g(t)的表达式;     
(2)对于区间[-1,1]中的某个t,是否存在实数a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出这样的a及其对应的t;如果不存在,请说明理由.
(1) g(t)=4t3-3t+3.
(2)当t=-1或时,这样的a存在,且a=1,使得g(t)≥成立.
而当t∈(-1,1]且t≠时,这样的a不存在.
该题考查函数的求导,以及利用函数的导数判断函数的单调性进而求出函数的最值,还考查了三角函数的公式的利用,以及恒成立问题.
(1)利用三角函数转换公式化简f(x),在用配方法得出函数的最简式,即可得出函数g(x)的表达式
(2)求出g(x)的导数,画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值,g(t)≤ 
成立,即≥g(t)的最大值,求出a的范围.
解析:(1)
        
由(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当sinx=t时,f(x)有最小值g(t),即g(t)=4t3-3t+3.
(2)我们有
列表如下:
t
(-1,-)

(-)

(,1)
g'(t)

0

0

G(t)

极大值g(-)

极小值g()

由此可见,g(t)在区间(-1,-)和(,1)单调增加,在区间(-)单调减小,极小值为g()
=2,又g(-1)=-4-(-3)+3=2    故g(t)在[-1,1]上的最小值为2
注意到:对任意的实数a,∈[-2,2]当且仅当a=1时,=2,对应的t=-1
,故当t=-1或时,这样的a存在,且a=1,使得g(t)≥成立.
而当t∈(-1,1]且t≠时,这样的a不存在.
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