题目内容
【题目】已知直线过椭圆
的右焦点
,抛物线
的焦点为椭圆
的上顶点,且
交椭圆
于
两点,点
在直线
上的射影依次为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交
轴于点
,且
,当
变化时,证明:
为定值;
(3)当变化时,直线
与
是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标,即可得出
、
的值,再求出
的值即可求得椭圆
的方程;(2)设
,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得出
与
,再根据
及
,从而可表示出
,化简即可得证;(3))当
时,易得
与
相交于点
,可猜想:
变化时,
与
相交于点
,再证明猜想成立即可.
试题解析:(1)∵过椭圆
的右焦点
,
∴右焦点,即
,
又∵的焦点
为椭圆
的上顶点,
∴,即
,
∴椭圆的方程
;
(2)由得,
,
设,则
,
∵,
∴,
∴,
∴,
综上所述,当变化时,
的值为定值
;
(3)当时,直线
轴,则
为矩形,易知
与
是相交于点
,猜想
与
相交于点
,证明如下:
∵,
∵,
∴,即
三点共线.
同理可得三点共线,
则猜想成立,即当变化时,
与
相交于定点
.
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