Question

5．若曲线f（x）=xlnx+2m上点P处的切线方程为x-y=0．
（1）求实数m的值；
（2）若过点Q（1，t）存在两条直线与曲线y=f（x）相切，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得导数，求得切线的斜率和切点，可得m；
（2）设切点为（u，v），求得切线的斜率，求得切线的方程，代入Q，可得t-ulnu-1=（1+lnu）（1-u），即为t-2=lnu-u，在（0，+∞）有两解，运用导数求得单调区间和极值、最值，即可得到t的范围．

解答 解：（1）f（x）=xlnx+2m的导数为f′（x）=1+lnx，
点P（n，n）处的切线斜率为1+lnn=1，可得n=1，
即切点为（1，1），
则1=2m，解得m=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=xlnx+1，
设切点为（u，v），则切线的斜率为f′（u）=1+lnu，
即有切线的方程为y-ulnu-1=（1+lnu）（x-u），
代入点Q（1，t），
即有t-ulnu-1=（1+lnu）（1-u），
即为t-2=lnu-u，在（0，+∞）有两解，
由g（u）=lnu-u的导数为g′（u）=$\frac{1}{u}$-1，
可得u＞1，g（u）递减，0＜u＜1，g（u）递增．
可得u=1，取得最大值g（1）=-1，
即有t-2＜-1，
解得t＜1．
故实数t的取值范围时（-∞，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题．