Question

19．己知椭圆的对称中心为原点O，焦点在x轴上，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂ 构成的三角形中面积的最大值为$\sqrt{3}$，且点（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程：
（2）已知点A，B是椭圆上的两动点，若OA⊥OB时，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}$=1，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）利用参数表示A，B的坐标，求出|AB|²=（2cosα+2sinα）²+（$\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα）²=7+（4-$\sqrt{3}$）sin2α，即可求|AB|的最小值．

解答 解：（1）由题意，$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设椭圆上动点的参数表达式A（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），B（2cos（α+$\frac{π}{2}$），$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{2}$）），
也即A（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），B（-2sinα，$\sqrt{3}$cosα），
于是|AB|²=（2cosα+2sinα）²+（$\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα）²=7+（4-$\sqrt{3}$）sin2α，
故最小值为$\sqrt{3-\sqrt{3}}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，正确利用椭圆的参数方程是关键，属于中档题．