题目内容
11.已知函数f(x)=|ex-e2x|,方程f2(x)+af(x)+a-1=0有四个不同的实数根,则a的取值范围是(1-e2,1).分析 由g(x)=ex-e2x的导数为ex-e2,求得单调区间和极值,画出y=f(x)的图象,求得方程的根,由题意可得y=f(x)与y=1-a有四个交点等价为0<1-a<e2,解不等式即可得到a的范围.
解答 解:令g(x)=ex-e2x,则g′(x)=)=ex-e2,
∴当x>2时,g′(x)>0,当x<2时,g′(x)<0,当x=2时,g′(x)=0,
∴当x>2时,g(x)是增函数;
当x<2时,g(x)是减函数减.
当x=2时g(x)取得极小值g(2)=-e2.
作出f(x)的函数图象如图:
令t=f(x),∵t2+at+a-1=0,
△=a2-4(a-1)=(a-2)2≥0,
∴t=-1或t=1-a,即f(x)=-1或f(x)=1-a,
∵f(x)≥0,∴f(x)=-1无解,
∵方程f2(x)+af(x)+a-1=0有四个不同的实数根,
∴f(x)=1-a有4个不同的实数根,
∴0<1-a<e2,解得1-e2<a<1.
故答案为(1-e2,1).
点评 本题考查函数和方程的转化思想,考查导数与单调区间和极值的关系,考查数形结合的思想方法,属于中档题.
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