Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+2ⁿ，（n∈N^*），求该数列的通项公式．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，由此能求出该数列的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+2ⁿ，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+（n-1）×1=n，
∴该数列的通项公式：${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．