Question

10．如图所示，过抛物线x²=4py（p＞0）焦点的直线依次交抛物线与圆x²+（y-p）²=p²于点A，B，C，D，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的值是（　　）

• A． 8p²
• B． 4p²
• C． 2p²
• D． p²

Answer 1

分析 设A、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y₁•y₂，并用y₁，y₂表示AF，FD，代入上述式子中即可．

解答 解：设A、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意知焦点F（0，p），
则设直线AD方程为：y=kx+p，
联立消去x，得y²-（2p+4pk²）y+p²=0，
∴y₁•y₂=p²
又根据抛物线定义得AF=y₁+p，FD=y₂+p，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{CD}$|=（AF-p）（FD-p）=y₁•y₂=p²．
故选：D．

点评 此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．