Question

9．已知三棱锥S-ABC，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=SA=4，BC=3，则直线SB与AC所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 以A为原点，在平南ABC内过A作CB的平行线为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线SB与AC所成角的余弦值．

解答 解：如图，以A为原点，在平南ABC内过A作CB的平行线为x轴，AB为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），B（0，4，0），C（-3，4，0），S（0，0，4），
$\overrightarrow{SB}$=（0，4，-4），$\overrightarrow{AC}$=（-3，4，0），
设直线SB与AC所成角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{SB}$，$\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SB}|•|\overrightarrow{AC}|}$|=|$\frac{16}{4\sqrt{2}•5}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴直线SB与AC所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．