题目内容
18．
如图，△ABC内接于圆O，AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE．（1）求证：$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{DC}$；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•AE，求证：BA⊥AC．
分析 （1）问要证明$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{DC}$，结合已知条件可以考虑证明△ABE与△ADC的相似关系；
（2）要证明∠BAC=90°，只需证明BA⊥AC，结合△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•AE以及（1）问结果可以证明．
解答 证明：（1）由已知条件，可得∠BAE=∠CAD．
∵∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD．
∴△ABE∽△ADC，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{DC}$．
（2）∵△ABE∽△ADC，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
即AB•AC=AD•AE．
又∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$AB•ACsin∠BAC，且S=$\frac{1}{2}$AD•AE，
∴AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
∴sin∠BAC=1．又∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=90°，即BA⊥AC．
点评 考查相似三角形的判定及其应用，考查三角形面积的计算，属于中档题．
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