Question

【题目】已知函数与有相同的极值点．

(I)求函数的解析式；

(II)证明：不等式（其中e为自然对数的底数）；

(III)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析；（III）， +2ln3]∪（1，+∞）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数的极值点且为极小值点为，因为函数与有相同的极值点，即，求出，再验算是否使得在取得极小值即可；(II)将不等式化为，证明要证不等式，即证，设，求出的最小值为，即，设， 是减函数， ，所以，即，所以不等式恒成立；(III)分别求出， 在区间上的最大值和最小值，然后分两种情况：1°b﹣1＞0，对于对于（e为自然对数的底数），不等式恒成立，等价于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max； ；2°b﹣1＜0对于不等式恒成立，等价于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min， ，故实数b的取值范围为， +2ln3]∪（1，+∞）

试题解析：（Ⅰ）∵函数的定义域为（0，+∞），

， ，

令得或（舍），

∴在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴函数的极（最）大值为f（1）=﹣1，即是函数的极值点．

∵，∴．

由上知， 是函数的极值点，又∵与有相同极值点，

∴是函数的极值点，∴，解得．

经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意．

所以．

（Ⅱ）不等式可化为，所以

要证不等式，即证．

设，则，

在上， ， 是减函数；在上， ， 是增函数．

所以，

设， 是减函数， ，

所以，

所以，即，

所以不等式恒成立．

（Ⅲ）∵， ， ，

因为﹣9+2ln3＜＜﹣1，即．

∴， ， ．

由（Ⅰ）知，∴．

当时， ；当时， ．

故在上为减函数，在（1，3]上为增函数．

∵，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜．

∴， ， ．

1°当b﹣1＞0，即b＞1时，对于对于（e为自然对数的底数），

不等式恒成立，

等价于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，等价于b≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1，

∵，

∴b≥﹣3+1=﹣2，

又∵b＞1，∴b＞1．

2°当b﹣1＜0，即b＜1时，对于不等式恒成立，

等价于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，等价于b≤f（x1）﹣g（x2）]min+1，

，

∴b≤﹣+2ln3，

又∵b＜1，∴b≤﹣+2ln3，

综上，所求实数b的取值范围为， +2ln3]∪（1，+∞）．