Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以O为原点，以x轴正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0，直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若点A，B是曲线C上的两动点，点P是直线l上一动点，求∠APB的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1．

∵直线l的参数方程为 ，∴x﹣1+y﹣3=0，即x+y﹣4=0

（2）解：曲线C的圆心C（0，2）到直线l的距离d= ＞1．

∴直线l与圆C相离．

过点P作圆C的切线，则当A，B为切点时，∠APB最大．

连结OP，OA，则∠OPA= ∠APB，sin∠OPA= = ．

∴当OP取得最小值 时，sin∠OPA取得最大值 ，即∠OPA的最大值为 ，

∴∠APB的最大值为2∠OPA=

【解析】（1）将ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y代入极坐标方程得出曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程两式相加消去参数t，得到直线l的普通方程；（2）计算圆心C到直线l的距离可知直线与圆C相离，过P做圆C的切线，则当OP最小，A，B为切点时，∠APB最大．