题目内容
【题目】如图,椭圆 =1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点.|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是m,满足Mm= a2 .
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点.记△GFD的面积为S1 , △OED的面积为S2 , 求 的取值范围.
【答案】
(1)解:设F(﹣c,0)(c>0),则根据椭圆性质得M=a+c,m=a﹣c,而 ,所以有 ,即a2=4c2,a=2c,
因此椭圆的离心率为
(2)解:由(1)可知a=2c, ,椭圆的方程为 .
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB的方程为y=k(x+c),
并设A(x1,y1),B(x2,y2)则由 消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0
从而有 ,
所以 .
因为DG⊥AB,所以 , .
由Rt△FGD与Rt△EOD相似,所以 .
令 ,则t>9,从而 ,即 的取值范围是 .
【解析】(1)过点F的直线交椭圆于A,B两点.|AF|的最大值是M=a+c,|BF|的最小值是m=a﹣c,结合Mm= a2即可求出离心率;(2)设过焦点F的直线AB的方程为y=k(x+c),与椭圆方程联立,进而表示出点G、点D,然后表示出面积,从而求出
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