题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.4142< <1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).
【答案】
(1)解:由f(x)得f′(x)=ex+e﹣x﹣2 ,
即f′(x)≥0,当且仅当ex=e﹣x即x=0时,f′(x)=0,
∴函数f(x)在R上为增函数.
(2)解:g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(ex﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,
则g′(x)=2[e2x+e﹣2x﹣2b(ex+e﹣x)+(4b﹣2)]
=2[(ex+e﹣x)2﹣2b(ex+e﹣x)+(4b﹣4)]
=2(ex+e﹣x﹣2)(ex+e﹣x+2﹣2b).
①∵ex+e﹣x>2,ex+e﹣x+2>4,
∴当2b≤4,即b≤2时,g′(x)≥0,当且仅当x=0时取等号,
从而g(x)在R上为增函数,而g(0)=0,
∴x>0时,g(x)>0,符合题意.
②当b>2时,若x满足2<ex+e﹣x<2b﹣2即 ,得
,此时,g′(x)<0,
又由g(0)=0知,当 时,g(x)<0,不符合题意.
综合①、②知,b≤2,得b的最大值为2.
(3)解:∵1.4142< <1.4143,根据(Ⅱ)中g(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(ex﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,
为了凑配ln2,并利用 的近似值,故将ln
即
代入g(x)的解析式中,
得 .
当b=2时,由g(x)>0,得 ,
从而 ;
令 ,得
>2,当
时,
由g(x)<0,得 ,得
.
所以ln2的近似值为0.693.
【解析】对第(1)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的;
对第(2)问,先验证g(0)=0,只需说明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,从而问题转化为“判断g′(x)>0是否成立”的问题;
对第(3)问,根据第(2)问的结论,设法利用 的近似值,并寻求ln2,于是在b=2及b>2的情况下分别计算
,最后可估计ln2的近似值.
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