Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）当圆心C在直线l上移动时，求点A到圆C上的点的最短距离．

Answer 1

（1）由

y=2x-4 y=x-1

得圆心C为（3，2），
∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0
∴

|3k-2+3|

k2+1

=1，
∴|3k+1|=

k2+1

，
∴2k（4k+3）=0，
∴k=0或者k=-

3

4

∴所求圆C的切线方程为：y=3或者y=-

3

4

x+3…（6分）
（2）当圆心C在直线l上移动时，点A到圆心C的最短距离为

7 5

5

，
则点A到圆C上的点的最短距离为

7 5

5

-1…（12分）