Question

已知圆C₁：x²+y²=4与直线l：3x+4y-5=0交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，则圆C₂的最大面积为______．

Answer 1

由圆C₁：x²+y²=4，可得圆心O（0，0），半径R=2
如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得

3x+4y-5=0 x2+y2=4

，消去y得到25x²-30x-39=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6

5

，所以线段AB的中点Q的横坐标为

3

5

，把x=

3

5

代入直线方程中解得y=

4

5

，
所以Q（

3

5

，

4

5

），则两圆心之间的距离OQ=d=

( 3 5 -0)2+( 4 5 -0)2

=1，
因为两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=R-d=2-1=1，
则圆C₂的最大面积为为π．
故答案为：π