题目内容
【题目】如图,椭圆的离心率为
,其左顶点
在圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
的另一个交点为
,与圆
的另一个交点为
.
(ⅰ)当时,求直线
的斜率;
(ⅱ)是否存在直线,使
?若存在,求出直线
的斜率;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)(ⅰ)1,-1;(ⅱ)不存在直线
,使得
.
【解析】
试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就要知道两个独立条件,椭圆左顶点在圆说明
,再由离心率可得
,最后由
可得
;(2)本题考查解析几何的基本方法,直线与椭圆相交问题与存在性命题,解决方法是(ⅰ)设点
,显然直线
存在斜率,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立并代入消元得
,其中一个根是-4,另一根设为
(易得),再由弦长公式
可求得
;(ⅱ)圆中的弦长
利用垂径定理求得,把
代入方程
,解之,如能解得
值,说明存在,如方程无解,说明不存在.
试题解析:(1)因为椭圆的左顶点
在圆
上,所以
,
又离心率为,所以
,所以
,
所以,所以
的方程为
.
(2)(ⅰ)设点,显然直线
存在斜率,
设直线的方程为
,与椭圆方程联立得
,
化简得到,
因为-4为上面方程的一个根,所以,
所以,
由,
代入得到,解得
,所以直线
的斜率为1,-1.
(ⅱ)圆心到直线的距离为
,
,
因为,
代入得到,
显然,,所以不存在直线
,使得
.
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