题目内容
【题目】已知椭圆
过点
,且离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点
,且线段
的垂直平分线过定点
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)由离心率得到a,c,b的关系,进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示,再结合点在椭圆上求得c,则椭圆方程可求;(2)设出M,N的坐标,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于0得到
,再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为
.求出MN的垂直平分线l'方程,由P在l'上,得到
,再结合
求得k的取值范围.
试题解析:(1)离心率,∴
,即
(1)
又椭圆过点,则
,(1)式代入上式,解得:
,
,椭圆方程为
(2)设,弦
的中点
由,得:
,
直线与椭圆交于不同的两点,
∴,即
,(1)
由韦达定理得: ,
,
则,
,
直线的斜率为:
,
由直线和直线
垂直可得:
,即
,代入(1)式,
可得: ,即
,则
或
.
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