Question

2．已知二次函数f（x）的最小值为-4，f（0）=f（2）=-3，且y=|f（x）|在区间[3a，a+1]上单调，则a的取值范围是$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的表达式，画出函数y=|f（x）|的图象，得到函数的单调区间，从而得到关于a的不等式组，解出a的范围即可．

解答 解：∵f（0）=f（2），∴对称轴x=1，
又∴二次函数f（x）的最小值为-4，
∴设函数f（x）=m（x-1）²-4，由f（0）=-3，
得：m=1，
∴f（x）=（x-1）²-4，
画出函数y=|f（x）|的图象，如图示：
，
若y=|f（x）|在区间[3a，a+1]上单调，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{a+1≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥3}\\{a+1＞3}\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$说明：端点-2，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$可开可闭，
故答案为：$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查数形结合思想，是一道中档题．