Question

【题目】已知右焦点为的椭圆过点，且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线与轴的交点为.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中条件运用基本量之间的关系求解；（2）借助题设条件运用直线和椭圆的位置关系建立坐标之间的关系，再用坐标之间的关系分析推证即可.

试题解析：（1）解：∵椭圆过点，∴，①………………………………1分

∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，………………………………2分

∵，∴，②…………………………………………………………3分

由①②得，，……………………………………………………4分

∴椭圆的方程为.………………………………………………5分

（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，

代入得，

由得，.…………………………7分

设，，则

，，……………………………………8分

则直线的方程为，

令得：

，

∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线与轴的交点为.…………12分