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【题目】过曲线C1=1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,直线F1M交曲线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中曲线C1与C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为( )

A. B. -1 C. +1 D.

【答案】D

【解析】设双曲线的右焦点为F2,则F2的坐标为(c,0).

由题意知F2也是C3的焦点,所以C3:y2=4cx.连接OM,NF2,因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,所以OM为△NF1F2的中位线,所以OM∥NF2.因为|OM|=a,所以|NF2|=2a.又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c,所以|NF1|=2b.设N(x,y),则由抛物线的定义可得|NF2|=x+c=2a,所以x=2a-c.过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a,由y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e= (负值舍去),故选D.

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