题目内容
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=
BC=1，E是PC的中点，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）证明：ED∥平面PAB；
（2）若PC=2，PA=
，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【答案】
【解析】（1）如图，取PB的中点F，连接AF，
．
∵EF是
的中位线，∴EF∥BC，且EF=
．（2分）
又
，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE平面ABP，AF平面ABP，∴ED∥平面PAB.（5分）
（2）如图，取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC，可得
．
过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作
于
，则PC⊥平面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．（9分）
在
中，
，连接AE，
．
在
中，
，则
.
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为
.（12分）
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