Question

【题目】为自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数在区间上的最值；

（Ⅱ）当时，设函数（其中为常数）的3个极值点为，且，将这5个数按照从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，判断函数的单调性，即可得到最值；（Ⅱ）这个数按照从小到大的顺序为．求出的导数，求得极值点，再令，求出导数，求得最小值，求得单调区间，即可判断，与的大小．

试题解析：（Ⅰ）.

令，可得.列表如下：

故函数的单调减区间为，；单调增区间为.

即函数在上单调递减，在上单调递增.

又因为，，，，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为.

（Ⅱ）由题意，，

令函数，有，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

因为函数有3个极值点，

从而，所以.

当时，，，

从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1.

又，所以，，.

即，，故.

即这5个数按照从小到大的顺序为0，，，1，.