题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减,当
时,
在
上单调递增,在
和
上单调递减,当
时,
在
上单调递增,在
和
上单调递减;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间;(2)问题转化为
恒成立,令
,即
,根据函数的单调性求出
的最小值,从而求出
的最大值.
试题解析:(1),
,
①当时,
,∴
在
上单调递减;
②当,由
解得
,∴
的单调递增区间为
,
单调递减区间是和
;
③当,同理可得
的单调递增区间为
,单调递减区间是
和
.
(2)∵恒成立,∴
恒成立,
即恒成立,
令,
∴在
上递增,
上递减,∴
,
∴,
令,
∴在
上递增,
上递减,
∴,∴
,∴实数
的最大值为
.
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