Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=ex﹣1﹣ax的图象与x轴相切． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣1﹣a，设切点为（x0 ， 0）， 依题意， ，解得
所以f′（x）=ex﹣1﹣1．
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．
则g′（x）=ex﹣1﹣m（lnx+ ）﹣1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex﹣1﹣m（ + ），
（ⅰ）若m≤ ，
因为当x＞1时，ex﹣1＞1，m（ + ）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，
从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．
（ⅱ）若m＞ ，
可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，
且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，
又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（1，x1）上单调递减，
而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．
纵上所述，k的取值范围是（﹣∞， ]
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．