Question

【题目】已知函数f（x）= 满足：f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a，b的值，并探究是否存在常数c，使得对函数f（x）在定义域内的任意x，都有f（x）+f（c﹣x）=4成立；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤ 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，解得 ．

∴ （x≠﹣1）．

方法1：假设存在常数c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立．

特别当x=0时有f（0）+f（c）=4，即 ，解得c=﹣2．

下面证明f（x）+f（﹣2﹣x）=4，x≠﹣1恒成立．事实上，当x≠﹣1时，

则f（x）+f（﹣2﹣x）= = ．

∴存在常数c=﹣2，满足题设要求；

方法2：假设存在常数c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立．

则 ，

即 ，

变形得，﹣x2+（c﹣1）x+c=﹣x2+（c﹣1）x+2（c+1），

整理得，c=﹣2．

∴存在常数c=﹣2，满足题设要求

（2）解：不等式f（x）≤ 即为 对x∈[1，2]恒成立，

即 对x∈[1，2]恒成立，

故必有0＜m＜1或m＞2

在0＜m＜1或m＞2下，问题化为 对x∈[1，2]恒成立，

即mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，

①当x=1时， 或m＞2．

②当x≠1时， 且 对x∈[1，2]恒成立，

对于 对x∈[1，2]恒成立，等价于 ，

令t=x+1，x∈[1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，

，t∈（2，3]递增，

∴ ，

即 ，结合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2．

对于 对x∈[1，2]恒成立，等价于 ，

令t=x﹣1，x∈[1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，

，t∈（0，1]递减，

∴ ，

∴m≤4，结合0＜m＜1或m＞2，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

综上，实数m的取值范围为2＜m≤4

【解析】（1）由 ，得 ，解得a，b的值， 方法1：假设存在常数c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立，特别当x=0时，解得c的值，然后证明
f（x）+f（﹣2﹣x）=4，x≠﹣1恒成立，当x≠﹣1时，则f（x）+f（﹣2﹣x）=4，故存在常数c=﹣2，满足题设要求；
方法2：假设存在常数c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立，则 ，变形得，﹣x2+（c﹣1）x+c=﹣x2+（c﹣1）x+2（c+1），整理得c的值，故存在常数c=﹣2，满足题设要求；（2）不等式f（x）≤ 即为 对x∈[1，2]恒成立，即 对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2，进一步化为 对x∈[1，2]恒成立，即mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，再分类讨论①当x=1时， 或m＞2，②当x≠1时，求出0＜m＜1或2＜m≤4，综上，实数m的取值范围可求．