Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，2），$\overrightarrow{n}$=（2sinx，cos²x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-1-t（t∈R）．
（1）若方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求t的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（1）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=4时，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由数量积和三角函数运算可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-t，t的范围即为y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上值域，由三角函数的知识可得；
（2）由（1）和题意易得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得a²=16-3bc，结合题意由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，2），$\overrightarrow{n}$=（2sinx，cos²x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-1-t=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1-t
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-t，
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-t=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
∴t的取值范围即为y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上值域，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴t的取值范围为[-1，2]；
（2）由（1）可知f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2=-1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc=4²-3bc=16-3bc
≥16-3（$\frac{b+c}{2}$）²=4，
当且仅当b=c=2时取等号，
∴a²≥4，∴a≥2
∴a的最小值为2

点评 本题考查解三角形，涉及三角函数的值域和余弦定理以及基本不等式求最值，属中档题．