Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{\frac{10}{x}-2}|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}$，若实数a、b、c满足：a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则$\frac{abc}{a+b}$的取值范围是（　　）

• A． （10，12）
• B． （25，30）
• C． $（4，\frac{24}{5}）$
• D． （25，+∞）

Answer 1

分析 画出图象得出，当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜5＜b＜10＜＜c＜12，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{5}$，化简$\frac{abc}{a+b}$=$\frac{5}{2}$c，即可求得范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{\frac{10}{x}-2}|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}$，
f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，
∴0＜a＜5＜b＜10＜c＜12，
由$\frac{10}{a}$-2=2-$\frac{10}{b}$，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{abc}{a+b}$=$\frac{5}{2}$c∈（25，30）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{5}$，代数式的化简，属于中档题．