Question

13．已知正项数列{a_n}与数列{b_n}满足：
a₁=b₁∈（0，2]，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．
 若（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）≥λ（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）（n∈N^*），
则实数λ的最大值为1．

Answer 1

分析 由条件将n换为n+1，推得$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，再将含λ的不等式，化简整理，可得λ≤1+b₁，由b₁∈（0，2]，可得λ的最大值．

解答 解：n≥2时，
∵$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2且n∈N^*），
所以$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2且n∈N^*），
∴（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}}$•$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{2}}$•…•$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{{b}_{1}}$•$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{2}}$•$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{3}}$•…•$\frac{1+{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$•$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$•b_n+1
=$\frac{1}{{b}_{1}}$•$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$•…$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•b_n+1
=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}}$•$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$•$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$（1+b₁）（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=（1+b₁）（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
由1+b₁∈（1，3]，
故λ≤1，λ的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查数列不等式恒成立问题的解法，考查累乘法的运用，考查运算求解能力，具有一定的难度．