Question

11．在△ABC中，若tanA=2tanB，a²-b²=$\frac{1}{3}$c，则c=1．

Answer 1

分析 由tanA=2tanB，可得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{2sinB}{cosB}$，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，由余弦定理化简整理可得：a²-b²=$\frac{1}{3}$c²，结合a²-b²=$\frac{1}{3}$c，即可解得c的值．

解答 解：∵tanA=2tanB，可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{2sinB}{cosB}$，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，
∴由余弦定理可得：a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：a²-b²=$\frac{1}{3}$c²，
又∵a²-b²=$\frac{1}{3}$c，
∴$\frac{1}{3}$c=$\frac{1}{3}$c²，解得：c=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．