Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点.

（1）若过点，证明：；

（2）若，点在曲线上，，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）易知，设，，由题意可知，直线的斜率存在，故设其方程为，联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出的表达式，代入直线方程得到的表达式，利用抛物线的焦点弦公式求出即可得证；

（2）由题意知，抛物线的方程为，设，，，则，的中点分别为，，由，的中点均在抛物线上，得到方程有两个不同的实数根，利用韦达定理和判别式，结合三角形的面积公式和点在曲线上即可求解.

（1）证明：易知，设，，

由题意可知，直线的斜率存在，故设其方程为，

由，得，所以，

因为，

所以，

而，故.

（2）因为，所以抛物线的方程为，

设，，，则，的中点分别为，，因为，的中点均在抛物线上，

所以方程有两个不同的实数根，

即方程有两个不同的实数根，

则，，，即，

所以的中点的横坐标为，则

，

即，

因为，所以的面积为，即，

由，得，

所以，

因为，所以，

所以面积的取值范围为.