Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且 ，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设 （M与C不重合）．

（1）求证：CD⊥DP；
（2）若PA∥平面BME，求k的值；
（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

又CD平面ABCD，所以PE⊥CD．

由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．

双DP平面PAD，所以CD⊥DP．

（2）解：连接AC交BE于N，连接MN．

因为PA∥平面BME，PA平面PAC，

平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．

因为 AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．

又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．

所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1．

（3）解：方法一：

依题意，若二面角M﹣BE﹣A的大小为150°，则二面角M﹣BE﹣C的大小为30°．

连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG．

因为PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．

又BE平面ABCD，所以MF⊥BE．

又MF∩FG=F，MF平面MFG，FG平面MFG，

所以BE⊥平面MFG，从而BE⊥MG．

则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．

在等边△PAD中， ．由于 ，所以 ．

又 ，所以 ．

在△MFG中，

解得k=3．

方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E为原点，

射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，

如图．∵ ，∠BAD=60°，

∴A（0，1，0）， ， ，D（0，﹣1，0），E（0，0，0），

平面ABE即xoy平面的一个法向量为 =（0，0，1）．

设M（x，y，z），由条件 可知： （k＞0），

即 ，

∴ ，解得：

即 ， ．

设平面MBE的一个法向量为 =（x'，y'，z'），

则 ，x'=0，令 ，则z'=k．即 =（0， ）．

因为二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，

所以|cos＜ ＞|=|cos150°|，即 = = ，

解得k=±3．

因为k＞0，所以k=3．

【解析】（1）推导出PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥DP．（2）连接AC交BE于N，连接MN，推导出PA∥MN，从而∠CBN=∠AEN=90°，进而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．（3）法一：连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG，则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，由此能示出k．
法二：以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出k．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．