题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.

(1)求证:MN∥BC;
(2)若M,N分别为PB,PC的中点,
①求证:PB⊥DN;
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值.

【答案】
(1)证明:因为底面ABCD为直角梯形,所以BC∥AD.

因为BC平面ADNM,AD平面ADNM,

所以BC∥平面ADNM.

因为BC平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,

所以MN∥BC.


(2)解:①因为M,N分别为PB,PC的中点,PA=AB,

所以PB⊥MA.

因为∠BAD=90°,所以DA⊥AB.

因为PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.

因为PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.所以PB⊥DA.

因为AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM,

因为DN平面ADNM,所以PB⊥DN.

解:②如图,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz.

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由(2)知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM的法向量为 =(﹣2,0,2).

设平面PDN的法向量为 =(x,y,z),

因为

所以

令z=2,则y=2,x=1.所以 =(1,2,2),

所以cos< >= = =

所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值为


【解析】(1)推导出BC∥AD,从而BC∥平面ADNM,由此能证明MN∥BC.(2)①推导出PB⊥MA,DA⊥AB,从而DA⊥PA.再由PB⊥DA,得PB⊥平面ADNM,由此能证明PB⊥DN.②以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值.
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系,需要了解相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能得出正确答案.

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