题目内容

8.已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0$)的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$,A1,A2是椭圆E的长轴的两个端点(A2位于A1右侧),B是椭圆在y轴正半轴上的顶点,点F是椭圆E的右焦点,点M是x轴上位于A2右侧的一点,且$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$与$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中项,|FM|=1.
(1)求椭圆E的方程以及点M的坐标;
(2)是否存在经过点(0,$\sqrt{2}$)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q,使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共线?若存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.

分析 (1)设点F(c,0),M(x,0),x>a,由已知得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$,从而x=$\frac{{a}^{2}}{c}$,再由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,能求出椭圆方程和M点坐标.
(2)由题意,直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$,联立椭圆方程,得($\frac{1}{2}$+k2)x2+2$\sqrt{2}$kx+1,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件推导出不存在符合题意的直线l.

解答 解:(1)设点F(c,0),M(x,0),x>a,
由$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$与$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中项,得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$,
解得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$,
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,b2=a2-c2
∴a=$\sqrt{2}$,b=c=1,
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,M点坐标为M(2,0).
(2)由题意,直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$,
联立椭圆方程,得($\frac{1}{2}$+k2)x2+2$\sqrt{2}$kx+1,
∵直线l与椭圆E交于不同的两点P,Q,
∴△=4k2-2>0,∴k2>$\frac{1}{2}$,
令P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x2=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$,y1+y2=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$,
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=(x1+x2,y1+y2)=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$(-2k,1),
由题知$\overrightarrow{{A}_{2}B}$=(-$\sqrt{2}$,1),
要使向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共线,
则2k=$\sqrt{2}$,即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,但不满足k2>$\frac{1}{2}$,
故不存在符合题意的直线l.…(14分)

点评 本题考查椭圆E的方程以及点M的坐标的求法,考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法,考查向量知识的运用,属于中档题.

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