题目内容

我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”来庆祝数学学科节的成功举办.其中是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,点轴上一点,记,其中为锐角.

(1)求抛物线方程;
(2)当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.
(1);(2).

试题分析:本题主要考查抛物线的定义和方程、向量的数量积、三角函数的最值等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问,根据抛物线的标准方程,利用焦点坐标直接写出抛物线方程;第二问,设出,根据已知条件写出A点坐标,由于点A在抛物线上,所以将点A坐标代入到抛物线方程中,利用整理出的方程求出,同理求出,利用这4个边长求“蝴蝶形图案”的面积得出三角函数式,利用换元法求函数最值.
试题解析:(1)由抛物线焦点得,抛物线方程为.
(2)设,则点
所以,,即.
解得
同理:
“蝴蝶形图案”的面积
,∴
,∴时,即,“蝴蝶形图案”的面积为8.
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