题目内容
如图所示,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.
(1)求r的取值范围;
(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.
(1)求r的取值范围;
(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.
(1)(,4) (2)(,0)
解:(1)将y2=x代入(x-4)2+y2=r2,
并化简得x2-7x+16-r2=0,①
E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1,x2,
由此得
解得<r2<16.
又r>0,
所以r的取值范围是(,4).
(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为:
A(x1,)、B(x1,-)、C(x2,-)、D(x2,).
则直线AC、BD的方程分别为
y-=·(x-x1),
y+=(x-x1),
解得点P的坐标为(,0).
设t=,
由t=及(1)知0<t<.
由于四边形ABCD为等腰梯形,
因而其面积S=(2+2)·|x2-x1|.
则S2=(x1+x2+2)[(x1+x2)2-4x1x2].
将x1+x2=7,=t代入上式,
并令f(t)=S2,
得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)(0<t<).
求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),
令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),
当0<t<时,f′(t)>0;
当<t<时,f′(t)<0.
故当且仅当t=时,f(t)有最大值,
即四边形ABCD的面积最大.
故所求的点P的坐标为(,0).
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