题目内容
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
、
,上顶点为
,在
轴负半轴上有一点
,满足
为线段
的中点,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过、
、
三点的圆与直线
相切,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线与椭圆
交于
、
两点,在
轴上是否存在点
使得以
、
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,且实数
的取值范围是
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为
,根据
为线段
的中点,求出点
的坐标,然后由
,可得出
、
、
的等量关系,由此可计算出椭圆
的离心率;
(2)由(1)可知点,圆的半径为
,利用点
到直线
的距离为
求出
的值,进而可得出
与
的值,由此可得出椭圆
的标准方程;
(3)由(2)可知,设点
、
,设直线
的方程为
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,根据菱形的对角线相互垂直的性质可得
,代入化简即可得出实数
的取值范围.
(1)设椭圆的焦距为
,则
、
,
为线段
的中点,则点
,且点
的坐标为
,
,
,
,
,
即,可得
,因此,椭圆
的离心率为
;
(2),
的外接圆圆心为点
,半径为
,
由于直线与该圆相切,则
,解得
,则
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(3)由(2)可知,设点
、
,直线
的方程为
,
当时,直线
与
轴重合,此时,
、
、
三点共线,不合乎题意,则
,
联立,消去
,化简得
,
由韦达定理得,
,
,
,
,
根据菱形对角线相互垂直的性质可得,
,即
,
即,整理得
.
综上所述,在轴上存在点
使得以
、
为邻边的平行四边形是菱形,且实数
的取值范围是
.
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