题目内容

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=______.
设|AF1|=|AB|=m,
则|BF1|=
2
m,|AF2|=m-2a,|BF2|=
2
m-2a,
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,
∴m-2a+
2
m-2a=m,
∴4a=
2
m,
∴|AF2|=(1-
2
2
)m,
∵△AF1F2为Rt三角形,
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2
∴4c2=(
5
2
-
2
)m2
∵4a=
2
m,
∴4c2=(
5
2
-
2
)×8a2
∴e2=5-2
2

故答案为:5-2
2
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