题目内容
（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都是2，又
平面
ABC，D、E分别是AC、CC1的中点。
（1）求证：
平面A1BD；
（2）求二面角D—BA1—A的余弦值；
（3）求点B1到平面A1BD的距离。
平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点。
（1）求证：
平面A1BD；（2）求二面角D—BA1—A的余弦值；
（3）求点B1到平面A1BD的距离。
（Ⅰ）证明：以DA所在直线为
轴，过D作AC 的垂线为
轴，DB所在直线为
轴建立空间直角坐标系
则A(1,0,0),C(
),E(
)，A1(
),C1(
)，B(
)
，
,
∵
∴
………………………………………………2分
∴ 
…………………………………………4分
又A1D与BD相交
∴AE⊥面A1BD ……………………………………………………………5分
（其它证法可平行给分）
(Ⅱ)设面DA1B的法向量为
由
,
，取
……………………………7分
设面AA1B的法向量为
，
则由
，取
………………9分
故二面角
的余弦值为
…………………………………10分
（Ⅲ）
,平面A1BD的法向量取
则B1到平面A1BD的距离为
…………………………13分
轴，过D作AC 的垂线为轴，DB所在直线为轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0),C(
),E()，A1(),C1()，B()，,∵
∴ ………………………………………………2分 ∴ …………………………………………4分又A1D与BD相交
∴AE⊥面A1BD ……………………………………………………………5分
（其它证法可平行给分）
(Ⅱ)设面DA1B的法向量为
由
,，取……………………………7分设面AA1B的法向量为
，则由
，取 ………………9分故二面角
的余弦值为 …………………………………10分（Ⅲ）
,平面A1BD的法向量取则B1到平面A1BD的距离为
…………………………13分略
练习册系列答案
相关题目
中，
,
，点
是
的中点，
；
；
与平面
所成角的正切值．
、
是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
、 m
∥n
的底面是边长为1的正方形,
,
, 
为
上两点,且
.
面
;
的正切值.
,E为PD上一点，PE = 2ED.
中，
,AB=8,
,PC
面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动
中，点
为线段
上的动点，点
为线段
上的动点，则与线段
相交且互相平分的线段
有（ ）
是不同的直线，
是不重合的平面，给出下面三个命题：
//
则
//
.
//
,
是两条异面直线，若