题目内容
【题目】如图1,在矩形中,,分别是的中点,分别是的中点,将四边形,分别沿,折起,使平面平面,平面平面,如图2所示,是上一点,且.
(1)求证:;
(2)线段上是否存在点,使得?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)结合平面图形的性质,利用线面垂直的判定定理可得平面,则,再由面面垂直证明线面垂直,进而可得,利用勾股定理可得,从而可得结论;(2)当时,平面,在上取点,使得,连接,可证明平面,此时.
(1)折叠前,
所以,又,
所以,
因为,所以
因为平面平面,平面平面 ,,所以
所以
由(1)得,所以
在梯形中,易得,,所以,
,所以.
(2)
当时,.
在上取点,使得,连结,
所以
又,所以,
,,
是平行四边形,所以,
此时
所以当时,