题目内容
【题目】在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且,
,又M是底面ABC内一点,则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.
【答案】
【解析】
先根据三棱锥的特点求出其体积,然后利用柯西不等式求得结果.
令M到三棱锥三个侧面的距离分别为x、y、z,
∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=3,PC=4,
∴VP﹣ABC(
PAPB)PC
(
PAPB)z
(
PBPC)y
(
PAPC)x,
即 (
3×3)×4
(
3×3)z
(
3×4)y
(
3×4)
,
化简可得:,
∴1=()2≤[(
)2+(
)2+(
)2](xspan>2+y2+z2),
解得x2+y2+z2.当且仅当
等号成立
又M是底面ABC内一点,
∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是.
故答案为:.
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