题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个相异零点
,求证:
.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)对f′(x)中的k分类讨论,根据f′(x)的正负判断函数
的单调性即可.
(2)由题意得lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0,两式作差可得,lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),k=,要证lnx1+lnx2>2即k(x1+x2)>2,将k代换后,化简变形得
,设t
1,构造函数g(t),利用新函数的导数求出单调区间,证得g(t)>g(1)=0即可.
(1),
①当时,
,
在区间
上单调递增;
②当时,由
,得
,所以
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(2)因为,
是
的两个零点,则
,
,
所以,
.
要证,只要证
,即证
,
即证,即证
,只要证
.
设,则只要证
.
设,则
,所以
在
上单调递增.
所以,即
,所以
,即
.
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