题目内容
13．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（ ）| A． | $\frac{1}{16}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{8}$ | B． | $\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{4}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{2}$ |
分析 分别构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．
解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{x{f}^{′}（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴$\frac{f（1）}{1}$＜$\frac{f（2）}{4}$，
∴$\frac{f（1）}{f（2）}$$＜\frac{1}{4}$．
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴$\frac{f（1）}{1}$＞$\frac{f（2）}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$．
综上可得：$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$$＜\frac{1}{4}$．
故选：B．
点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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