题目内容

【题目】在四棱锥中，已知，，，，三角形是边长为2的正三角形，当四棱锥的外接球的体积取得最小值时，则以下判断正确的是（ ）

A.四棱锥的体积取得最小值为，外接球的球心必在四棱锥内

B.四棱锥的体积取得最小值为，外接球的球心可在四棱锥内或外

C.四棱锥的体积为，外接球的球心必在四棱锥内

D.四棱锥的体积为，外接球的球心可在四棱锥内或外

【答案】C

【解析】

根据，得到，，说明四边形有一个外接圆，且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，利用截面圆的性质，则平面，设，同理过作平面的垂线，垂足为，为正三角形的外心，设，外接球的半径为，则有，然后根据当四棱锥外接球的体积取得最小时，外接球的半径最小求解.

当四棱锥外接球的体积取得最小时，外接球的半径最小.

由已知得，，所以，，

所以四边形有一个外接圆，且圆心为的中点设为，

设外接球的球心为，则平面，设，

过作平面的垂线，垂足为，则为三角形的外心，

设，外接球的半径为，则，所以，

所以，当且仅当时，外接球的体积取得最小值，此时平面平面，

可得四棱锥的体积为，且外接球的球心必在四棱锥内.

故选：C

练习册系列答案
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戴口罩

未戴口罩

总计

未感染

30

10

40

感染

4

6

10

总计

34

16

50

（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；

（2）在上述感染者中，用分层抽样的方法抽取5人，再在这5人中随机抽取2人，求这2人都未戴口罩的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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