题目内容
【题目】已知函数.
(1)当任意取值时,
的图象始终经过一个定点,若
的图象在该定点处取得极值,求
的值;
(2)求证:函数有唯一零点的充分不必要条件是
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)根据,得到定点
,然后求导,根据
的图象在该定点处取得极值求解.
(2)分不必要性和充分性论证,证不必要性时,根据(1)取论证. 证充分性时,根据
,所以
已经有零点1,只需要证明函数
再无其它零点即可,然后.根据
,分
和
两种情况论证即可.
(1)由可得,
,
所以的图象始终经过一个定点
,
因为.
因为的图象在该定点处取得极值,所以
,所以
,
当时,
,满足:在
左右侧
异号,
所以符合题意;
(2)不必要性:
当时,
,
在上,
,在
上,
,
所以在
上递增,在
上递减,
所以,
所以当时,函数
有唯一零点1,
所以当是函数
有唯一零点的不必要条件;
充分性:
因为,所以
已经有零点1,下面只需要证明函数
再无其它零点了.
因为且
时,
,
所以在
上无零点,
因为,
当,且
时,
,所以
,
所以在
递增,所以当
时,
,
所以在
时也无零点,
所以时,
有唯一零点1,
所以是
有唯一零点的充分条件.
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