题目内容
【题目】已知抛物线:
,过其焦点
作斜率为1的直线交抛物线
于
,
两点,且线段
的中点的纵坐标为4.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不过原点且斜率存在的直线
与抛物线
相交于
、
两点,且
.求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据线段的中点的纵坐标为4,直线
的斜率为1,利用抛物线的方程,求解
,即可得到抛物线的方程;
(2)设直线:
,联立方程组,利用根与系数的关系,求得
,
,再由
得
,即可得到结论.
(1)设,
两点的坐标分别为
,
,
则,
,两式相减得
.
即,
又线段的中点的纵坐标为4,直线
的斜率为1,∴
,∴
.
即抛物线的标准方程为
.
(2)设直线:
与抛物线
:
交于点
,
,
则,
,∴
,
∴,
,
由得
,即
,
,
直线为,∴
过定点
.
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练习册系列答案
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【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水x(单位:千克)清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药y(单位:微克)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
y(微克)
x(千克)
| ||||||
3 | 38 | 11 | 10 | 374 | -121 | -751 |
其中
(I)根据散点图判断,与
,哪一个适宜作为蔬菜农药残量
与用水量
的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)若用解析式与用水量
的回归方程,求出
与
的回归方程.(c,d精确到0.1)
(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到0.1,参考数据)
附:参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: