题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知点和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
(1)当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程
;
(2)已知,
是曲线
上的两点,若曲线
上存在点
,满足
(
为坐标原点),求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(Ⅰ)连结QF,由已知条件推导出|QP|=|QF|,从而得到|QE|+|QF|=PE=2,由此推导出点Q的轨迹方程T是以E(﹣1,0)和F(1,0)为焦点的椭圆,进而能求出点Q的轨迹方程T.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m,把y=kx+m代入椭圆,得(1+2k2)x2+4kx+2m2﹣2=0,分m=0和m≠0两种情况进行讨论,能求出实数λ的取值范围.
解:(Ⅰ)如图,连结QF,
∵点E(﹣1,0)和F(1,0),
圆E是以E为圆心,半径为的圆,点P是圆E上任意一点,
线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q,
∴|QP|=|QF|,∴|QE|+|QF|=PE=2,
∴点Q的轨迹方程T是以E(﹣1,0)和F(1,0)为焦点的椭圆,
且2a=2,a
,c=1,∴b=1,
∴点Q的轨迹方程T:.
(Ⅱ)设经过点M、N的直线为l,由题意和l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
把y=kx+m代入椭圆,
整理,得(1+2k2)x2+4kx+2m2﹣2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
则,x1x2
,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,
①当m=0时,点M,N关于原点对称,则λ=0;
②当m≠0时,点M,N不关于原点对称,则λ≠0,
∵,
∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
∴,y0
,
∵点P在上,
∴[]2+2[
]2=2,
化简,得4m2(1+2k2)=λ2(1+k2)2,
∵1+2k2≠0,∴4m2=λ2(1+2k2),①
又∵△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)
=8(1+2k2﹣m2)>0,
∴1+2k2>m2,②
联立①②及m≠0,得λ2<4,∴﹣2<λ<2,且λ≠0.
综上所述,实数λ的取值范围是(﹣2,2).

【题目】如图,平面四边形中,
,
是
,
中点,
,
,
,将
沿对角线
折起至
,使平面
平面
,则四面体
中,下列结论不正确的是( )
A. 平面
B. 异面直线与
所成的角为
C. 异面直线与
所成的角为
D. 直线与平面
所成的角为
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:万元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入上表的空白栏,并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,
.
【题目】某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查,提供满意与不满意两种回答,调查结果如下表(单位:人):
学生 | 高一 | 高二 | 高三 |
满意 | 500 | 600 | 900 |
不满意 | 300 | 200 | 300 |
(1)求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率;
(2)从参与调查的高三学生中,用分层抽样的方法抽取4人,在这4人中任意选取2人,求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.