题目内容

20.已知过点P(-2,0)的双曲线C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程是y=$±\sqrt{3}x$.

分析 通过椭圆方程可知双曲线焦点F1(-4,0)、F2(4,0),并利用点P在双曲线上,计算即得结论.

解答 解:依题意,椭圆焦点F1(-4,0),F2(4,0),
设双曲线方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{(-2)^{2}}{{a}^{2}}-\frac{0}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={4}^{2}}\end{array}\right.$,
解得:a=2,b=$2\sqrt{3}$,
∴双曲线方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=0,
∴其渐近线方程为:y=±$\frac{2\sqrt{3}}{2}$x=$±\sqrt{3}x$,
故答案为:y=$±\sqrt{3}x$.

点评 本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题.

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