题目内容
【题目】已知函数.
(1)若是在定义域内的增函数,求
的取值范围;
(2)若函数(其中
为
的导函数)存在三个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)求出函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)=2x-1-2ce-2x,利用f'(x)≥0得对于一切实数都成立,构造函数
,利用导数求解函数的最小值,即可得到c的取值范围;(2)由(1)知f'(x)=2x-1-2ce-2x,通过F(x)=0得,整理得
,构造函数
,通过导数求出导数的极值点,判断函数的单调性,求解函数的极小值即可
试题解析:(1)因为,
所以函数的定义域为
,且
,
由得
即
对于一切实数都成立.………2分
再令,则
,令
得
.
而当时
,当
时
,
所以当时
取得极小值也是最小值,即
.
所以的取值范围是
.………………6分
(2)由(1)知,所以由
得
,整理得
.………………8分
令,则
,
令,解得
或
.
列表得:
由表可知当时,
取得极大值
;
当时,
取得极小值
.………………12分
又当时,
,
,所以此时
.
因此当时,
;当
时,
;当
时,
;因此满足条件
的取值范围是
.………………16分
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